19世纪初，法国数学家傅里叶发表了一篇对后世影响深远的论文，证明连续的周期信号可以由一组某个基准频率整数倍的三角函数的级数表示，即傅里叶级数；而对于非周期的信号，则可以表示成一组频率连续的三角函数的积分，也就是傅里叶变换。与傅里叶变换相关的一整套数学工具也逐渐建立起来，称为傅里叶分析。
无论从理论角度还是应用角度，傅里叶分析都是非常有用的。在信号处理领域里，无论是周期信号还是非周期信号，一般都是时间的函数，而通过傅里叶变换，我们可以看到它在频域里的样子，了解它是由哪些频率的三角函数按照怎样的比重叠加起来的。这足以改变我们理解问题的思维方式，当我们描述某个变量时，总是希望了解它是怎样随时间变化的，却从来不知道还有一个频域，不清楚信号是怎样随频率变化的。而在量子理论中，能量动量等效于波的频率和波矢量，一个描述体系性质的场可以是坐标与时间的函数，也可以是频率和波矢量的函数，它们之间就是通过傅里叶变换相互联系的。傅里叶变换完美的体现了坐标表象与动量表象之间的某种对称性，也恰如其分的体现出海森伯不确定原理的精神，玻恩甚至认为，物理规律从坐标表象变换到动量表象应该是不变的。
如果单纯去看傅里叶变换的形式，它实际上是一种函数的变换方式，也就是将一个函数按照一定的规则映射为另一个函数。而傅里叶变换的魅力在于三角函数系的正交属性，即三角函数系中两个不同的三角函数在周期内的积分为零，这为后来的函数空间打开了大门。因为，这些三角函数系可以想象为一个无穷维的函数空间，每个三角函数可以看作某个坐标轴的基矢，而需要进行分解的任意函数可以看作这个无限维函数空间中的一个向量，它在各坐标轴上的投影坐标就是傅里叶展开中相应三角函数的系数。由于三角函数系的正交属性，计算这些坐标也是非常容易的，可以通过任意函数与某个基矢求取内积得到，这种思路为以后的函数空间理论指引了方向。在讨论函数性质时，人们习惯将它看作某个函数空间中的元素，而且人们应用各种方法，逐渐找到了许多具有正交属性的新的函数系统。
在信号处理领域，由于计算机只能处理离散的数字信号，而傅里叶变换是对连续信号进行的操作，为保证计算机可以应用傅里叶分析解决问题，发展出了离散傅里叶变换。在通常的傅里叶分析中，当时域信号为周期信号时，频域为离散信号；而时域为离散信号时，频域为周期信号。因此，当我们希望时域与频域都是离散信号时，它们也都是周期信号。时域信号的离散化是通过对随时间变化的连续的模拟信号进行采样实现的，从而得到离散的时域与频域信号的傅里叶变换对。
离散傅里叶变换通过采样的方式解决了应用计算机处理数据的问题，尤其适合音频、图片与视频等数据。音频可以通过采样转换为一个数据串；图片可以按照每个像素中三原色的比例转换为三个矩阵，通过矩阵中的每个元素取不同数值记录像素的明暗程度；而视频则是一连串图片按照时间进行排序。但是离散傅里叶变换有一个缺点，当数据量非常大时，计算量也显著增大，降低了数据处理的速度，因此发展出了快速傅里叶变换的技术。快速傅里叶变换是离散傅里叶变换的快速算法，它将一个很长的序列分解为一系列的短序列，利用离散傅里叶变换的数学结构，比如对称性和周期性提高运算速度，最终降低运算的复杂度。快速傅里叶变换对傅里叶分析的理论体系并没有创新，但是它显著提高了数据处理的效率，因此有极高的应用价值。
当我们听到一个熟人的声音时，马上就可以分辨出来，因为每个人声音的“音色”是不同的，它就像声音的指纹一样隐藏在声音的模式之中。当我们对声音进行傅里叶变换就会发现，信息包含在频域对应的三角函数的系数中，当这些系数代表的每个频率分量的“强度”确定后，我们相当于用另一种方式记录了声音信息，这在声音的模式识别方面很有用。
当我们理解图片时，就需要应用二维离散傅里叶变换。通过将时域的信号转换为频域信号，我们得到了记录图片信息的另一种方式。尽管频域图像已经无法看出图片上的画面，却特别适合数据处理，在图像的增强、除去噪声、边缘检测、特征提取、数据压缩，等方面都有广泛的应用。对一幅图片来说，频域图像中的高频部分表示的是细节信息，而低频部分则是轮廓信息，如果噪声对应的频率在某个特定范围内，就可以通过滤波除去噪声。当频域图像处理完毕后，再进行傅里叶逆变换进行还原即可。在图像数据压缩过程中，将时域图像转换为频域图像，然后将那些占用大量空间而且对图像的视觉感受不重要的部分置零，再进行傅里叶逆变换就可以了。将一张BMP格式的图片压缩为JPG格式，可以将存储空间压缩几十倍。压缩后的图像虽然只占据很小的存储空间，视觉效果却相差无几。在像人脸识别这样的图像特征提取领域，同样需要傅里叶变换。
频域的发现为我们展现了一个“镜中”的世界，它不是一面普通的镜子，现实世界在这个镜子里变得“面目全非”，但是它包含了现实世界的全部信息，提供给我们一种全新的认识世界、分析世界的方式，在某些问题中，“镜子”中的世界比现实世界更简单清晰，从量子论中可以看到这种对称性。现实世界中的物理量一般是位置和时间的函数，而通过傅里叶变换，则变成了波矢量和频率的函数。因此，理论上粒子和波是等价的，但是在具体问题中，计算的复杂程度并不相同，有些用粒子描述方便，有些波的图像更直观。
那么除了傅里叶分析这面镜子，还有没有其它的镜子呢？在这些魔镜中，世界又是什么样子的？这些问题值得我们去认真的思考。